로그 연립방정식

$\log _{2} x = X$, $\log _{3} y = Y$라 하면 $\log _{x} y = \log _{3} 8$에서 $\displaystyle \frac{\log _{3} y}{\log _{3} x} = 3 \log _{3} 2$ $\log _{3} y$$= 3 \log _{3} 2 \cdot \log _{3} x$ $\displaystyle = 3 \log _{3} 2 \cdot \frac{\log _{2} x}{\log _{2} 3}$ $= 3 \left( \log _{3} 2 \right) ^{2} \cdot {\log _{2} x}$ ⋯⋯ ㉠ ㉠을 $4 \left( \log _{2} x \right) \left( \log _{3} y \right) = 3$에 대입하면 $4 \left( \log _{2} x \right) \left\{ 3 \left( \log _{3} 2 \right) ^{2} \cdot {\log _{2} x} \right\}$$= 3$ $\displaystyle \left( \log _{2} x \right) ^{2} = \frac{1}{4 \left( \log _{3} 2 \right) ^{2}} = \left( \frac{\log _{2} 3}{4} \right) ^{2}$ 위의 방정식의 해 $\alpha > 1$이므로 $\log _{2} \alpha > 0$이다. ∴ $\displaystyle \log _{2} x = \frac{\log _{2} 3}{2}$$\displaystyle = \log _{2} \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle x = \sqrt{3}$, 즉 $\displaystyle \alpha = \sqrt{3}$이다. $\displaystyle x = \sqrt{3}$을 ㉠에 대입하면 $\log _{3} y$$\displaystyle = 3 \left( \log _{3} 2 \right) ^{2} \cdot {\log _{2} \sqrt{3}}$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \log _{3} 2$$\displaystyle = \log _{3} 2 \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle y = 2 \sqrt{2}$, 즉 $\displaystyle \beta = 2 \sqrt{2}$이다. ∴ $\alpha \beta$$\displaystyle = \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2}$$\displaystyle = 2 \sqrt{6}$