미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그 포함 함수 극솟값

문제

함수 f(x)=12x2−aln⁡x(a>0)\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{2} - a \ln x ( a > 0 ) 의 극솟값이 00일 때, 상수 aa의 값은? [3점] ①1e\displaystyle \frac{1}{e}②2e\displaystyle \frac{2}{e}③e\displaystyle \sqrt{e}④ee⑤2e2 e

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④

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해설

f(x)=12x2−aln⁡x(a>0)f′(x)=x−ax=x2−ax=0\displaystyle \begin{aligned} f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{2} - a \ln x ( a > 0 ) \\ f' ( x ) = x - \frac{a}{x} = \frac{x ^{2} - a}{x} = 0 \end{aligned} f′(x)=0f' ( x ) = 0에서 x=a\displaystyle x = \sqrt{a}이므로 함수 f(x)f ( x )의 증감표는 다음과 같다.

xx⋯\cdotsa\displaystyle \sqrt{a}⋯\cdots
f′(x)f' ( x )−-00++
f(x)f ( x )↘극소↗

따라서 f(x)f ( x )의 극소값은 f(a)=12a−aln⁡a=0,\displaystyle f ( \sqrt{a} ) = \frac{1}{2} a - a \ln \sqrt{a} = 0 , ∴a=e\therefore a = e

태그

#극솟값#로그함수 미분

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