로그 넓이 등차수열

[출제의도] 로그의 성질과 등차수열의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. 주어진 사각형은 사다리꼴이므로 $\displaystyle S ( 2 ) = \frac{1}{2} \times 2 \left( \log _{2} 2 + \log _{2} 4 \right) = \log _{2} 8$ $\displaystyle S ( 4 ) = \frac{1}{2} \times 2 \left( \log _{2} 4 + \log _{2} 6 \right) = \log _{2} 24$ $\displaystyle S ( a ) = \frac{1}{2} \times 2 \left\{ \log _{2} a + \log _{2} ( a + 2 ) \right\} = \log _{2} a ( a + 2 )$ $S ( 2 )$, $S ( 4 )$, $S ( a )$가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $2 S ( 4 ) = S ( 2 ) + S ( a )$ $2 \log _{2} 24 = \log _{2} 8 + \log _{2} a ( a + 2 )$ $24 ^{2} = 8 a ( a + 2 )$ $a ^{2} + 2 a - 72 = 0$ ∴ $\displaystyle a = - 1 + \sqrt{73}$ 또는 $\displaystyle a = - 1 - \sqrt{73}$ 그런데 $a > 1$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{73} - 1$ ∴ $n = 73$