로그 조건을 만족시키는 순서쌍의 최댓값

집합 $A = \left\{ \left( a , b \right) \left| a \right. \right.$, $b$는 자연수, $2 \leq a \leq k$, $\log _{a} b \leq 2 \}$에서 $a = n$일 때, $b \leq n ^{2}$이므로 $\left( a , b \right)$의 개수는 $n ^{2}$이다. 따라서 $2 \leq a \leq k$에서 집합 $A$의 원소의 개수는 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{k} n ^{2}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{k} n ^{2} - 1$$\displaystyle = \frac{k \left( k + 1 \right) \left( 2 k + 1 \right)}{6} - 1$ 집합 $A$의 원소의 개수가 $54$이므로 $\displaystyle \frac{k \left( k + 1 \right) \left( 2 k + 1 \right)}{6} = 55$ $k \left( k + 1 \right) \left( 2 k + 1 \right) = 5 \cdot 6 \cdot 11$ 따라서 $k = 5$이다. $a + b$의 최댓값은 $a = 5$, $b = 25$일 때이므로 $a + b + k$의 최댓값은 $5 + 25 + 5 = 35$이다. [다른 풀이] 집합 $A = \left\{ \left( a , b \right) \left| a \right. \right.$, $b$는 자연수, $2 \leq a \leq k$, $\log _{a} b \leq 2 \}$에서 $a = 2$, $3$, $\cdots$, $k$이고, $1 \leq b \leq a ^{2}$이므로 경우를 나누어서 판단하면 다음과 같다. (ⅰ) $a = 2$일 때, $1 \leq b \leq 4$ 즉, 만족하는 순서쌍은 $4$개 (ⅱ) $a = 3$일 때, $1 \leq b \leq 9$ 즉, 만족하는 순서쌍은 $9$개 (ⅲ) $a = 4$일 때, $1 \leq b \leq 16$ 즉, 만족하는 순서쌍은 $16$개 (ⅳ) $a = 5$일 때, $1 \leq b \leq 25$ 즉, 만족하는 순서쌍은 $25$개 그런데, 집합 $A$의 원소의 개수가 $54$이므로 $a = 5$일 때 만족한다. 즉 $a = 5$, $b = 25 , k = 5$일 때가 최대가 되므로 $a + b + k$의 최댓값은 $5 + 25 + 5 = 35$이다.