대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 조건을 만족하는 자연수

문제

$\displaystyle \log _{a} b = \frac{3}{2}$ , $\displaystyle \log _{c} d = \frac{3}{4}$ 을 만족시키는 자연수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 에 대하여 $a - c = 19$ 일 때, $b - d$ 의 값을 구하시오. [4점]

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973

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해설

$\displaystyle b = a ^{\frac{3}{2}}$ , $\displaystyle d = c ^{\frac{3}{4}}$ 즉 $\displaystyle a = b ^{\frac{2}{3}}$ , $\displaystyle c = d ^{\frac{4}{3}}$ 이고 자연수이므로 $a$ 는 세제곱수, $c$ 는 네제곱수이다 $c = 16 , 81 , 256 , \cdots$ $a = 4 , 9 , \cdots , 81 , 100 , 121 , \cdots$ 이중에서 $a - c = 19$ 인 경우는 $a = 100$ , $c = 81$ 따라서 $b = 1000$ , $d = 27$ $\therefore b - d = 973$

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