대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 조건 순서쌍 개수

문제

두 부등식 1≤x<2101 \leq x < 2 ^{10}, 0≤y≤log⁡2x0 \leq y \leq \log _{2} x를 만족시키는 정수x,yx , y에 대하여 순서쌍(x,y)( x , y )의 개수를 다음과 같이 구하였다. 자연수 kk에 대하여 부등식 2k−1≤x<2k2 ^{k-1} \leq x < 2 ^{k}을 만족시키는 정수 xx의 개수는 □(가){\square {( \text{가} )}} 이다. 이 □(가){\square {( \text{가} )}} 개의 각각의 xx에 대하여 log⁡22k−1=k−1\log _{2} 2 ^{k-1} = k - 1, log⁡22k=k\log _{2} 2 ^{k} = k이므로 0≤y≤log⁡2x0 \leq y \leq \log _{2} x를 만족시키는 정수 yy의 개수는 □(나){\square {( \text{나} )}}이다. 따라서 2k−1≤x<2k2 ^{k-1} \leq x < 2 ^{k}인 범위에서 순서쌍 (x,y)( x , y )의 개수는 □(가)×□(나){\square {( \text{가} )}} \times {\square {( \text{나} )}} 이다. 그런데 자연수 kk는 1부터 □(다){\square {( \text{다} )}} 까지의 값을 취할 수 있으므로 각각의 kk값을 대입하여 그 합을 구하면 92179217이다.

위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①2k2 ^{k} k−1k - 1 1010②2k−12 ^{k} - 1 kk 1010③2k−12 ^{k-1} k+1k + 1 99④2k−12 ^{k-1} kk 1010⑤2k+12 ^{k+1} kk 99

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제 의도] 지수법칙과 로그의 성질을 이용하여 완성형의 문제해결을 할 수 있다. 부등식 2k−1≤x<2k2 ^{k-1} \leq x < 2 ^{k}(k=1,2,⋯ ,10k = 1 , 2 , \cdots , 10)을 만족시키는 정수xx의 개수는 2k−2k−1=2⋅2k−1−2k−1=2k−12 ^{k} - 2 ^{k-1} = 2 \cdot 2 ^{k-1} - 2 ^{k-1} = 2 ^{k-1}이다. log⁡22k−1=k−1\log _{2} 2 ^{k-1} = k - 1, log⁡22k=k\log _{2} 2 ^{k} = k이므로 0,1,2,⋯ ,k−10 , 1 , 2 , \cdots , k - 1에서 yy의 개수는 kk이다. 따라서 2k−1≤x<2k2 ^{k-1} \leq x < 2 ^{k}을 만족하는 2k−12 ^{k-1}개의 각 xx에 대하여 0≤y≤log⁡2x0 \leq y \leq \log _{2} x을 만족시키는 정수yy는 kk개이므로 이 때 순서쌍(x,y)( x , y )의 개수는2k−1⋅k2 ^{k-1} \cdot k이다. 그런데 자연수 kk는 11부터 1010까지의 값을 취할 수 있으므로 각각의 kk값을 대입하여 그 합을 구하면 92179217이다.

태그

#로그#빈칸채우기

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 지수와 로그 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로