미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 조건 급수

문제

첫째항이 양수이고 공차가 33인 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}과 모든 항이 양수인 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 다음 조건을 만족시킬 때, a1a _{1}의 값은? [4점] (가) 모든 자연수 nn에 대하여 log⁡an+log⁡an+1+log⁡bn=0\log a _{n} + \log a _{n + 1} + \log b _{n} = 0 (나) ∑n=1∞bn=112\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \frac{1}{12}

①22②52\displaystyle \frac{5}{2}③33④72\displaystyle \frac{7}{2}⑤44

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⑤

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해설

log⁡an+log⁡an+1+log⁡bn=0\log a _{n} + \log a _{n + 1} + \log b _{n} = 0 log⁡anan+1bn=0\log a _{n} a _{n + 1} b _{n} = 0, anan+1bn=1a _{n} a _{n + 1} b _{n} = 1 bnb _{n}=1anan+1\displaystyle = \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}} =1an+1−an(1an−1an+1)\displaystyle = \frac{1}{a _{n + 1} - a _{n}} \left( \frac{1}{a _{n}} - \frac{1}{a _{n + 1}} \right) =13(1an−1an+1)\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a _{n}} - \frac{1}{a _{n + 1}} \right) ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}=∑n=1∞13(1an−1an+1)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a _{n}} - \frac{1}{a _{n + 1}} \right) =lim⁡n→∞∑k=1n13(1ak−1ak+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a _{k}} - \frac{1}{a _{k + 1}} \right) =lim⁡n→∞13{(1a1−1a2)+(1a2−1a3)+⋯+(1an−1an+1)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{3} \left\{ \left( \frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{2}} \right) + \left( \frac{1}{a _{2}} - \frac{1}{a _{3}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{a _{n}} - \frac{1}{a _{n + 1}} \right) \right\}} =lim⁡n→∞13(1a1−1an+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{3} \left( \frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{n + 1}} \right)} =lim⁡n→∞13(1a1−13n+a1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{3} \left( \frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{3 n + a _{1}} \right)} =13×1a1\displaystyle = \frac{1}{3} \times \frac{1}{a _{1}}=112\displaystyle = \frac{1}{12} 따라서 a1=4a _{1} = 4

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