대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 지수 연산 보기

문제

11이 아닌 임의의 양수 a,ba , b에 대하여 연산 ◎을 a⊚b=alog⁡3ba \circledcirc b = a ^{\log _{3} b} 라 정의할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. a⊚b=b⊚aa \circledcirc b = b \circledcirc a ㄴ. 연산 ◎ 에 대한 99의 역원은 22이다. ㄷ. 3⊚32⊚33⊚⋯⊚3n=37203 \circledcirc 3 ^{2} \circledcirc 3 ^{3} \circledcirc \cdots \circledcirc 3 ^{n} = 3 ^{720}을 만족하는 자연수 nn은 66이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 이항연산 이해하기 ㄱ. a⊚b=alog⁡3b=blog⁡3a=b⊚aa \circledcirc b = a ^{\log _{3} b} = b ^{\log _{3} a} = b \circledcirc a ∴ 참 ㄴ. 항등원을 ee라 하면 alog⁡3e=aa ^{\log _{3} e} = a a≠1a \ne 1이므로 log⁡3e=1\log _{3} e = 1 즉, e=3e = 3 이 때, 99의 역원을 xx라 하면 9log⁡3x=39 ^{\log _{3} x} = 3즉, x=3\displaystyle x = \sqrt{3} ∴ 거짓 ㄷ. 3⊚32⊚33⊚⋯⊚3n=37203 \circledcirc 3 ^{2} \circledcirc 3 ^{3} \circledcirc \cdots \circledcirc 3 ^{n} = 3 ^{720} 31×2×3×⋯×n=37203 ^{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n} = 3 ^{720} n=6n = 6 ∴ 참

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