대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 지수 함수 최대최소

문제

13≤x≤3\displaystyle \frac{1}{3} \leq x \leq 3에서 정의된 함수 f(x)=9x−2+log⁡3xf ( x ) = 9 x ^{- 2 + \log _{3} x}의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, M+mM + m의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 함수의 최대, 최소 구하기 f(x)=9x−2+log⁡3xf ( x ) = 9 x ^{- 2 + \log _{3} x}의 양변에 밑이 33인 로그를 취하면 log⁡3f(x)=log⁡39+log⁡3x−2+log⁡3x\log _{3} f ( x ) = \log _{3} 9 + \log _{3} x ^{- 2 + \log _{3} x} =2+(−2+log⁡3x)log⁡3x= 2 + \left( - 2 + \log _{3} x \right) \log _{3} x log⁡3x=t\log _{3} x = t라 하면 13≤x≤3\displaystyle \frac{1}{3} \leq x \leq 3에서 −1≤t≤1- 1 \leq t \leq 1이다. log⁡3f(x)=t2−2t+2=(t−1)2+1\log _{3} f ( x ) = t ^{2} - 2 t + 2 = \left( t - 1 \right) ^{2} + 1에서 t=−1t = - 1일 때, 최댓값 M=243M = 243 t=1t = 1일 때, 최솟값 m=3m = 3이므로 M+m=246M + m = 246이다.

태그

#로그 치환#최대최소

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