미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그·지수 그래프 사이 거리

문제

그림과 같이 함수 y=ln⁡x+4,y=ex−4y = \ln x + 4 , y = e ^{x - 4}의 그래프의 두 교점의 xx좌표를 각각 a,ba , b라 하자. 일차함수 y=−x+ky = - x + k의 그래프가 a≤x≤ba \leq x \leq b에서 두 함수의 그래프와 만나는 두 점 사이의 거리가 최대가 될 때, 상수 kk의 값은? [4점]

①72\displaystyle \frac{7}{2}②44③92\displaystyle \frac{9}{2}④55⑤112\displaystyle \frac{11}{2}

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④

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해설

[출제의도] 미분을 이용하여 수학내적 문제해결하기 직선 y=−x+ky = - x + k와 y=xy = x가 수직이다. 직선 y=−x+ky = - x + k와 두 함수y=f(x)y = f ( x )와 y=g(x)y = g ( x )가 만나는 두 점 사이의 거리가 최대가 되려면 직선 y=−x+ky = - x + k가 y=f(x)y = f ( x ), y=g(x)y = g ( x )와 만나는 점에서 접선의 기울기가 11일 때이다. f′(x)=1x=1\displaystyle f' ( x ) = \frac{1}{x} = 1 ∴ x=1x = 1 g′(x)=ex−4=1g' ( x ) = e ^{x-4} = 1 ∴ x=4x = 4 (1,4),(4,1)( 1 , 4 ) , ( 4 , 1 )을 지나는 직선의 방정식은 y=−x+5y = - x + 5이므로 kk의 값은 55이다.

태그

#접선의 기울기#역함수

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