로그 지수 부등식 영역

$\displaystyle \begin{cases} \log _{y} ( 1 - x ^{2} ) \leq 2 \cdots \cdots \cdots \text{①} \\ 2 ^{y} \leq 2 \cdot 4 ^{x} \cdots \cdots \cdots \text{②} \end{cases}$

①식의 진수조건 $1 - x ^{2} > 0$에서 $- 1 < x < 1$이고 (ⅰ) $0 < y < 1$일 때, $1 - x ^{2} \geq y ^{2} \leftrightarrow x ^{2} + y ^{2} \leq 1$ (ⅱ) $y > 1$일 때, $1 - x ^{2} \leq y ^{2} \leftrightarrow x ^{2} + y ^{2} \geq 1$ ②식에서 $2 ^{y} \leq 2 ^{2x+1} \leftrightarrow y \leq 2 x + 1$ 좌표평면위에 나타내면 위 그림과 같다. 그러므로 빗금친 영역의 넓이 $S$는 $\displaystyle \therefore S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = \frac{1}{4} \left( \pi + 5 \right)$