로그 자연수 확률

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-확률 상자에서 임의로 2장의 카드를 동시에 꺼내는 경우의 수는 ${} _{29} C _{2}$ $\log _{a} b$가 자연수일 경우의 수는 (ⅰ) $\log _{a} b = 2$일 때, $b = a ^{2}$에서 순서쌍 $( a , b )$는 $( 2 , 2 ^{2} )$, $( 3 , 3 ^{2} )$, $( 4 , 4 ^{2} )$, $( 5 , 5 ^{2} )$의 4개 (ⅱ) $\log _{a} b = 3$일 때, $b = a ^{3}$에서 순서쌍 $( a , b )$는 $( 2 , 2 ^{3} )$, $( 3 , 3 ^{3} )$의 2개 (ⅲ) $\log _{a} b = 4$일 때, $b = a ^{4}$에서 순서쌍 $( a , b )$는 $( 2 , 2 ^{4} )$의 1개 (ⅳ) $\log _{a} b \geq 5$일 때, 순서쌍 $( a , b )$는 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{4 + 2 + 1}{{} _{29} C _{2}} = \frac{7}{\frac{29 \times 28}{2 \times 1}} = \frac{1}{58}$ 따라서 $p = 58 , q = 1$이므로 $p + q = 59$