대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 합으로 일반항

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nak=log⁡n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \log n 을 만족시킨다. 10an=1.0410 ^{a _{n}} = 1.04일 때, nn의 값은? [4점] ①2424②2525③2626④2727⑤2828

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③

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해설

[출제의도] 상용로그의 뜻과 ∑\displaystyle \sum\limits _{} ^{}의 성질을 이용하여 자연수의 값을 구한다. ana _{n}=∑k=1nak−∑k=1n−1ak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{k}=log⁡n−log⁡(n−1)= \log n - \log ( n - 1 )=log⁡nn−1\displaystyle = \log \frac{n}{n - 1} (n≥2)( n \geq 2 ) 따라서 10an=nn−1\displaystyle 10 ^{a _{n}} = \frac{n}{n - 1}(n≥2)( n \geq 2 ) 10an=1.0410 ^{a _{n}} = 1.04에서 nn−1=2625\displaystyle \frac{n}{n - 1} = \frac{26}{25}이므로 n=26n = 26

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