대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그 합으로 일반항

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $\log _{2} a _{1} + \log _{2} a _{2} + \log _{2} a _{3} + \cdots + \log _{2} a _{n} = n ^{2} + n$ ( $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$ ) 을 만족시킬 때, $a _{10}$ 의 값은? [3점] ① $2 ^{20}$ ② $2 ^{21}$ ③ $2 ^{22}$ ④ $2 ^{23}$ ⑤ $2 ^{24}$

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①

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해설

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 알고 있는가를 묻는 문제이다. $\log _{2} a _{1} + \log _{2} a _{2} + \cdots + \log _{2} a _{9} + \log _{2} a _{10} = 110$ $\cdots$ ㉠ $\log _{2} a _{1} + \log _{2} a _{2} + \cdots + \log _{2} a _{9} = 90$ $\cdots$ ㉡㉠－㉡에서 $\log _{2} a _{10} = 20$ ∴ $a _{10} = 2 ^{20}$

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