대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 합 망원급수

문제

자연수 nn에 대하여 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 일반항이 an=4n+2n+1\displaystyle a _{n} = \sqrt[n + 1]{\sqrt[n + 2]{4}} 일 때, ∑k=110log⁡2ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \log _{2} a _{k}의 값은? [4점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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⑤

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해설

an=4n+2n+1=(22n+2)1n+1=22(n+1)(n+2)\displaystyle a _{n} = \sqrt[n + 1]{\sqrt[n + 2]{4}} = \left( 2 ^{\frac{2}{n + 2}} \right) ^{\frac{1}{n + 1}} = 2 ^{\frac{2}{( n + 1 ) ( n + 2 )}}이므로 log⁡2ak\log _{2} a _{k}=log⁡222(k+1)(k+2)\displaystyle = \log _{2} 2 ^{\frac{2}{( k + 1 ) ( k + 2 )}}=2(k+1)(k+2)\displaystyle = \frac{2}{( k + 1 ) ( k + 2 )}=2(1k+1−1k+2)\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2} \right) 따라서 ∑k=110log⁡2ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \log _{2} a _{k}=∑k=1102(1k+1−1k+2)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} 2 \left( \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2} \right) =2{(12−13)+(13−14)+⋯+(111−112)}\displaystyle = 2 \left\{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right) \right\} =2(12−112)\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{12} \right)=56\displaystyle = \frac{5}{6}

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