대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그·가우스 연산 방정식

문제

집합 A={2,3,4,5}A = \left\{ 2 , 3 , 4 , 5 \right\}에서 연산 ∗*를 다음과 같이 정의한다. a∗b={a−(a−b)[log⁡ab],b=2또는b=3b−(b−a)[log⁡ba],b=4또는b=5\displaystyle a * b = \begin{cases} a - ( a - b ) \left[ \log _{a} b \right] , b = 2 \text{또는} b = 3 \\ \\ b - ( b - a ) \left[ \log _{b} a \right] , b = 4 \text{또는} b = 5 \end{cases} (단, [x]\left[ x \right]는 xx를 넘지 않는 최대 정수이다.) 이 때, 방정식 4∗(4∗x)=x4 * ( 4 * x ) = x를 만족하는 xx의 개수는? [4점] ①00②11③22④33⑤44

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③

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해설

연산 4∗x4 * x 를 각각 계산하면 42=4−(4−2)[log⁡42]=4−2[12]=4∴42=4\displaystyle 4 2 = 4 - ( 4 - 2 ) \left[ \log _{4} 2 \right] = 4 - 2 \left[ \frac{1}{2} \right] = 4 \therefore 4 2 = 4 43=4−(4−3)[log⁡43]=4−[log⁡43]=4∴43=44 3 = 4 - ( 4 - 3 ) \left[ \log _{4} 3 \right] = 4 - \left[ \log _{4} 3 \right] = 4 \therefore 4 3 = 4 44=4−(4−4)[log⁡44]=4∴44=44 4 = 4 - ( 4 - 4 ) \left[ \log _{4} 4 \right] = 4 \therefore 4 4 = 4 45=5−(5−4)[log⁡54]=5−[log⁡54]=5∴45=54 5 = 5 - ( 5 - 4 ) \left[ \log _{5} 4 \right] = 5 - \left[ \log _{5} 4 \right] = 5 \therefore 4 5 = 5 그러므로 방정식 4∗(4∗x)=x4 * ( 4 * x ) = x 에서 ⅰ) x=2x = 2이면 4(42)=44=44 ( 4 2 ) = 4 4 = 4(×) ⅱ) x=3x = 3이면 4(43)=44=44 ( 4 3 ) = 4 4 = 4(×) ⅲ) x=4x = 4이면 4(44)=44=44 ( 4 4 ) = 4 4 = 4(○) ⅳ) x=5x = 5이면 4(45)=45=54 ( 4 5 ) = 4 5 = 5(○) ∴x=4또는x=5\therefore x = 4 \text{또는} x = 5

태그

#연산 정의#가우스 기호#로그

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