대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그 가수와 수열

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1×a22×a33×⋯×ann=10n2−na _{1} \times a _{2} ^{2} \times a _{3} ^{3} \times \cdots \times a _{n} ^{n} = 10 ^{n ^{2} - n} (n≥1n \geq 1) 을 만족시킨다. log⁡ak\log a _{k}의 가수가 0.990.99일 때, kk의 값을 구하시오. [4점]

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200

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해설

[출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계와 상용로그의 가수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. 주어진 식의 양변에 상용로그를 취하면 log⁡a1+2log⁡a2+3log⁡a3+⋯+nlog⁡an\log a _{1} + 2 \log a _{2} + 3 \log a _{3} + \cdots + n \log a _{n}=n2−n= n ^{2} - n ∴ ∑m=1nmlog⁡am=n2−n\displaystyle \sum\limits _{m=1} ^{n} m \log a _{m} = n ^{2} - n 따라서 nlog⁡an=(n2−n)−{(n−1)2−(n−1)}n \log a _{n} = ( n ^{2} - n ) - \left\{ ( n - 1 ) ^{2} - ( n - 1 ) \right\} =2n−2= 2 n - 2 (n≥2n \geq 2) 이고, log⁡a1=12−1=0\log a _{1} = 1 ^{2} - 1 = 0이므로 nlog⁡an=2n−2n \log a _{n} = 2 n - 2 (n≥1n \geq 1) ∴ log⁡an=1n(2n−2)=2−2n\displaystyle \log a _{n} = \frac{1}{n} \left( 2 n - 2 \right) = 2 - \frac{2}{n} n≤2n \leq 2이면 log⁡an\log a _{n}의 가수는 00이고 n≥3n \geq 3이면 log⁡an\log a _{n}의 가수는 1−2n\displaystyle 1 - \frac{2}{n}이다. log⁡ak\log a _{k}의 가수가 0.990.99이므로 1−2k=0.99\displaystyle 1 - \frac{2}{k} = 0.99 2k=1100\displaystyle \frac{2}{k} = \frac{1}{100} ∴ k=200k = 200

태그

#상용로그#가수

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