대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그 가수가 같은 x의 개수

문제

0<a<b0 < a < b인 a,ba , b에 대하여 N(a,b)N ( a , b )를 a<x<ba < x < b에서 log⁡x\log x의 가수와 log⁡x3\log x ^{3}의 가수가 같은 실수 xx의 개수라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, log⁡2=0.3010\log 2 = 0.3010으로 계산한다.) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. N(10,1000)=4\displaystyle N \left( \sqrt{10} , 1000 \right) = 4 ㄴ. pp가 정수이면 N(10p,10p+10)=19N \left( 10 ^{p} , 10 ^{p + 10} \right) = 19이다. ㄷ. N(210,250)=25N \left( 2 ^{10} , 2 ^{50} \right) = 25

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

log⁡x3−log⁡x=3log⁡x−log⁡x=2log⁡x=\log x ^{3} - \log x = 3 \log x - \log x = 2 \log x =(정수)이므로 ㄱ. 10<x<1000\displaystyle \sqrt{10} < x < 1000에서 1<2log⁡x<61 < 2 \log x < 6 ∴\thereforeN(10,1000)=4\displaystyle N \left( \sqrt{10} , 1000 \right) = 4 (참) ㄴ. 10p<x<10p+1010 ^{p} < x < 10 ^{p + 10}에서 2p<2log⁡x<2p+202 p < 2 \log x < 2 p + 20 ∴\thereforeN(10p,10p+10)=19N ( 10 ^{p} , 10 ^{p + 10} ) = 19 (참) ㄷ. 210<x<2502 ^{10} < x < 2 ^{50}에서 6.02<2log⁡x<30.106.02 < 2 \log x < 30.10 ∴\thereforeN(210,250)=24N \left( 2 ^{10} , 2 ^{50} \right) = 24 (거짓)

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