로그 가수 최대

i) $10 \leq n < 81$이면 $[ \log _{9} n ] = 1$이므로 $\displaystyle \log _{9} n - [ \log _{9} n ] = \log _{9} \frac{n}{9}$이고 $\displaystyle \log _{9} \frac{n}{9}$이 최대이어야 하므로 $n = 80$ ii) $81 \leq n < 100$이면 $[ \log _{9} n ] = 2$이므로 $\displaystyle \log _{9} n - [ \log _{9} n ] = \log _{9} \frac{n}{81}$이고 $\displaystyle \log _{9} \frac{n}{81}$이 최대이어야 하므로 $n = 99$ 따라서, i), ii)에서 $\displaystyle \log _{9} \frac{80}{9} > \log _{9} \frac{99}{81}$이므로 구하는 $n$은 80이다. [다른풀이] $a _{n} = \log _{9} n - [ \log _{9} n ]$을 수직선 위에 나타내어보면

$[ \log _{9} n ] = k$일 때 $n$이 $9 ^{k+1}$보다 왼쪽에 있는 최대수일 때, 즉 $9 ^{k+1} - 1$일 때 $a _{n}$이 최대이다. $n$이 두 자리수 이므로 $n = 9 ^{2} - 1 = 80$일 때 $a _{n}$이 최대이다.