대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 등차수열 곱

문제

두 실수 $a$ , $b$ 와 수열 $\left\{ c _{n} \right\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $( m + 2 )$ 개의 수 $a$ , $\log _{2} c _{1}$ , $\log _{2} c _{2}$ , $\cdots$ , $\log _{2} c _{m}$ , $b$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. (나) 수열 $\left\{ c _{n} \right\}$ 의 첫째항부터 제 $m$ 항까지의 항을 모두 곱한 값은 $32$ 이다.

$a + b = 1$ 일 때, 자연수 $m$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

등차수열의 합에서 $\displaystyle \log _{2} c _{1} + \cdots + \log _{2} c _{m} = m \times \frac{a + b}{2}$ $\displaystyle = \frac{m}{2}$ $\log _{2} ( c _{1} \times \cdots \times c _{m} ) = \log _{2} 32 = 5$ $\displaystyle = \frac{m}{2}$ $\therefore$ $m = 10$

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