로그 등차수열

세 수 $1$, ${\log _{2} \left( 2 ^{x} + 1 \right)}$, ${\log _{2} \left( 4 ^{x} - 1 \right)}$이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $2 \log _{2} \left( 2 ^{x} + 1 \right) = 1 + \log _{2} \left( 4 ^{x} - 1 \right)$ $\left( 2 ^{x} + 1 \right) ^{2} = 2 \left( 4 ^{x} - 1 \right)$ $4 ^{x} - 2 \cdot 2 ^{x} - 3 = 0$ $\left( 2 ^{x} - 3 \right) \left( 2 ^{x} + 1 \right) = 0$ $2 ^{x} = 3 \left( \because 2 ^{x} > 0 \right)$ $\therefore$ $\alpha = \log _{2} 3$ 그런데 $\log _{2} 2 < \log _{2} 3 < \log _{2} 4$이므로 $\therefore$ $1 < \alpha < 2$