미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그 분수꼴 급수

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=1a _{1} = 1, an+1=2an+1a _{n + 1} = 2 a _{n} + 1 (n=1,2,3,⋯ )\left( n = 1 , 2 , 3 , \cdots \right)을 만족할 때, ∑n=1∞1log⁡2(an+1)log⁡2(an+1+1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{\log _{2} \left( a _{n} + 1 \right) \log _{2} \left( a _{n + 1} + 1 \right)}의 값은? [3점] ①15\displaystyle \frac{1}{5}②14\displaystyle \frac{1}{4}③13\displaystyle \frac{1}{3}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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⑤

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해설

[출제의도] 무한급수의 성질 이해하기 an=2n−1a _{n} = 2 ^{n} - 1 이므로 ∑n=1∞1log⁡22nlog⁡22n+1=∑n=1∞1n(n+1)=1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{\log _{2} 2 ^{n} \log _{2} 2 ^{n + 1}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1

태그

#부분분수#급수

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