로그 부등식을 만족시키는 최대 자연수

$| \log _{x} n | \leq 2$ $\leftrightarrow$ $- 2 \leq \log _{x} n \leq 2$$\leftrightarrow$ $\displaystyle \log _{x} \frac{1}{x ^{2}} \leq \log _{x} n \leq \log _{x} x ^{2}$ 따라서 $x > 1$일 때, $\displaystyle \frac{1}{x ^{2}} \leq n \leq x ^{2}$이고 $x < 1$일 때, $\displaystyle x ^{2} \leq n \leq \frac{1}{x ^{2}}$이므로 $f ( x )$는 다음과 같다.

(단, $[ x ]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수) ㄱ. $f ( 2 ) = \left[ 2 ^{2} \right] = 4$ ㄴ. $0 < x < y < 1$이면 $\displaystyle 1 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ 즉, $\displaystyle \left[ \frac{1}{y ^{2}} \right] < \left[ \frac{1}{x ^{2}} \right]$이므로 $f ( x ) \geq f ( y )$ (거짓) ㄷ. $\displaystyle 0 < \frac{1}{x} < 1$일 때, $\displaystyle f \left( \frac{1}{x} \right) = \left[ x ^{2} \right]$ $[ x ^{2} ] \leq 30$에서 $x ^{2} < 31$ 따라서 $\displaystyle f \left( \frac{1}{x} \right) \leq 30$을 만족하는 자연수 $x$는 $x = 2$, $3$, $4$, $5$의 $4$개가 존재한다. (거짓)