로그 부등식 영역

[출제의도] 로그부등식을 만족하는 최대, 최소 구하기 ⅰ) $\log _{3} x \geq 0$, $\log _{3} y \geq 0$인 경우 $x \geq 1$, $y \geq 1$이고 $xy \leq 9$이므로 $\displaystyle y \leq \frac{9}{x}$이다. ⅱ) $\log _{3} x \geq 0$, $\log _{3} y < 0$인 경우 $x \geq 1$, $0 < y < 1$이고 $\displaystyle \frac{x}{y} \leq 9$이므로 $\displaystyle y \geq \frac{x}{9}$이다. ⅲ) $\log _{3} x < 0$, $\log _{3} y \geq 0$인 경우 $0 < x < 1$, $y \geq 1$이고 $\displaystyle \frac{y}{x} \leq 9$이므로 $y \leq 9 x$이다. ⅳ) $\log _{3} x < 0$, $\log _{3} y < 0$인 경우 $0 < x < 1$, $0 < y < 1$이고 $\displaystyle xy \geq \frac{1}{9}$이므로 $\displaystyle y \geq \frac{1}{9 x}$이다.

$x ^{2} + y ^{2} = k$라 하면 최댓값은 $( 1 , 9 )$, $( 9 , 1 )$을 지날 때이므로 $M = {82}$, 최솟값은 $\displaystyle \left( \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \right)$에서 접할 때이므로 $\displaystyle m = \frac{2}{9}$이다. 따라서 $M + 9 m = 84$이다.