로그 부등식 자연수 개수

$\displaystyle \log _{2} \sqrt{- n ^{2} + 10 n + 75} - \log _{4} \left( 75 - kn \right)$에서 로그의 진수 조건에 의하여 $\displaystyle \sqrt{- n ^{2} + 10 n + 75} > 0$, $75 - kn > 0$ 즉 $n ^{2} - 10 n - 75 < 0$, $kn < 75$에서 $\left( n + 5 \right) \left( n - 15 \right) < 0$, $\displaystyle n < \frac{75}{k}$이므로 $1 \leq n < 15$, $\displaystyle n < \frac{75}{k}$ ($\because$ $n$은 자연수) $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle \log _{2} \sqrt{- n ^{2} + 10 n + 75} - \log _{4} \left( 75 - kn \right) > 0$에서 $\log _{4} \left( - n ^{2} + 10 n + 75 \right) > \log _{4} \left( 75 - kn \right)$, $- n ^{2} + 10 n + 75 > 75 - kn$, $n \left( n - k - 10 \right) < 0$ $\therefore$ $1 \leq n < k + 10$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ (ⅰ) $\displaystyle k + 10 > \frac{75}{k}$일 때 $k \left( k + 10 \right) - 75 > 0$에서 $k ^{2} + 10 k - 75 > 0$, $\left( k + 15 \right) \left( k - 5 \right) > 0$ $\therefore$ $k > 5$ ($\because$ $k$는 자연수) ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 1 \leq n < \frac{75}{k}$이므로 이를 만족시키는 자연수 $n$의 개수가 $12$가 되려면 $\displaystyle 12 < \frac{75}{k} \leq 13$, $\displaystyle \frac{75}{13} \leq k < \frac{75}{12}$ 따라서 이를 만족시키는 자연수 $k$의 값은 $6$이다. (ⅱ) $\displaystyle k + 10 \leq \frac{75}{k}$일 때 $k \left( k + 10 \right) - 75 \leq 0$에서 $k ^{2} + 10 k - 75 \leq 0$, $\left( k + 15 \right) \left( k - 5 \right) \leq 0$ $\therefore$ $1 \leq k \leq 5$ ($\because$ $k$는 자연수) ㉠, ㉡에서 $1 \leq n < k + 10$이므로 이를 만족시키는 자연수 $n$의 개수가 $12$가 되려면 $12 < k + 10 \leq 13$, $2 < k \leq 3$ 따라서 이를 만족시키는 자연수 $k$의 값은 $3$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하려는 모든 자연수 $k$의 값의 합은 $6 + 3 = 9$