로그 보기 판정

[출제의도] 로그 추론하기 ㄱ. $n = 1$일 때 $2 ^{a} = 10$에서 로그의 정의에 의해 $a = \log _{2} 10$이므로 $\displaystyle a - 1 = \log _{2} 10 - \log _{2} 2 = \log _{2} \frac{10}{2} = \log _{2} 5$이다. (참) ㄴ. $n = 2$일 때 $2 ^{a} = 10 ^{2}$에서 로그의 정의에 의해 $a = \log _{2} 10 ^{2}$이다. $\displaystyle a - 2 = \log _{2} 10 ^{2} - \log _{2} 2 ^{2} = \log _{2} \frac{10 ^{2}}{2 ^{2}} = \log _{2} 5 ^{2} = 2 \log _{2} 5$ $5 ^{b} = 10 ^{2}$에서 $b = \log _{5} 10 ^{2}$이다. $\displaystyle b - 2 = \log _{5} 10 ^{2} - \log _{5} 5 ^{2} = \log _{5} \frac{10 ^{2}}{5 ^{2}} = \log _{5} 2 ^{2} = 2 \log _{5} 2$ 따라서 $\left( a - 2 \right) \left( b - 2 \right) = 2 \log _{2} 5 \times 2 \log _{5} 2 = 4$이다. (참) ㄷ. ㄴ과 마찬가지 방법으로 계산하면 $a = \log _{2} 10 ^{n}$에서 $a - n = \log _{2} 10 ^{n} - \log _{2} 2 ^{n} = n \log _{2} 5$ $b = \log _{5} 10 ^{n}$에서 $b - n = \log _{5} 10 ^{n} - \log _{5} 5 ^{n} = n \log _{5} 2$ $\displaystyle \left( a - n \right) \left( b - n \right) = n \log _{2} 5 \times n \log _{5} 2 = n ^{2} \frac{\log 5}{\log 2} \times \frac{\log 2}{\log 5} = n ^{2}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} \frac{\left( a - n \right) \left( b - n \right)}{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{20} \frac{n ^{2}}{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{20} n = 210$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.