대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 비로 세 자연수

문제

$1$ 보다 크고 $10$ 보다 작은 세 자연수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{\log _{c} b}{\log _{a} b} = \frac{1}{2}$ , $\displaystyle \frac{\log _{b} c}{\log _{a} c} = \frac{1}{3}$ 일 때, $a + 2 b + 3 c$ 의 값은? [4점] ① $21$ ② $24$ ③ $27$ ④ $30$ ⑤ $33$

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④

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[출제의도] 로그의 성질 이해하기 $\displaystyle \log _{c} b = \frac{1}{2} \log _{a} b$ 이므로 $\log _{b} c = 2 \log _{b} a$ $\therefore$ $c = a ^{2}$ $\displaystyle \log _{b} c = \frac{1}{3} \log _{a} c$ 이므로 $\log _{c} b = 3 \log _{c} a$ $\therefore$ $b = a ^{3}$ $a$ , $b$ , $c$ 는 $1$ 보다 크고 $10$ 보다 작은 자연수이므로 $a = 2$ , $b = 8$ , $c = 4$ 따라서 $a + 2 b + 3 c = 30$

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