로그 반올림 합

$n$이 자연수이므로 $\log _{10} n \geq 0$이고, $\log _{10} n$의 값을 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림한 수의 범위를 생각하면 (ⅰ) $0 \leq \log _{10} n < 0.5$일 때, $a _{n} = 0$ 이때, $1 \leq n < 10 ^{0.5}$이므로 $\displaystyle 1 \leq n < \sqrt{10}$ 따라서, 이를 만족하는 $n$의 값은 $1$, $2$, $3$이다. (ⅱ) $0.5 \leq \log _{10} n < 1.5$일 때, $a _{n} = 1$ 이때, $10 ^{0.5} \leq n < 10 ^{1.5}$이므로 $\displaystyle \sqrt{10} \leq n < 10 \sqrt{10}$$\cdots \cdots$㉠ 여기서 $\displaystyle 20 < 10 \sqrt{10}$이므로 ㉠을 만족하는 $n$의 값은 $4 , 5$, $6$, …, $20$이다. $\therefore$$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} a _{n} = ( a _{1} + a _{2} + a _{3} ) + ( a _{4} + \cdots + a _{20} )$$= 0 + 0 + 0 + \underbrace{17 \text{개}} {1 + 1 + \cdots + 1}$ $= 17$ [다른 풀이] $\log _{10} 1 = 0$, $\log _{10} 2 = 0.3010$, $\log _{10} 3 = 0.4771 <$$0.5$, $\log _{10} 4 = 2 \log _{10} 2 > 0.5$, …, $\log _{10} 10 = 1$, …, $\log _{10} 20 = \log _{10} 10 + \log _{10} 2 < 1.5$ $\therefore$$a _{1} = a _{2} = a _{3} = 0$, $a _{4} = a _{5} = \cdots = a _{20} = 1$ $\therefore$$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} a _{n} = ( a _{1} + a _{2} + a _{3} ) + ( a _{4} + \cdots + a _{20} )$ $= 0 + 0 + 0 + \underbrace{17 \text{개}} {1 + 1 + \cdots + 1}$ $= 17$