로봇팔 고정점

그림과 같이 네 점 $( - 2 , 2 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , - 2 )$, $( 1 , - 2 )$를 차례로 $\mathrm{A} , B , C , D$라 하고 선분 $\mathrm{AB} , BC$의 수직이등분선의 교점 $( 1 , 0 )$을 $\mathrm{M}$이라 하자. 로봇팔이 고정된 점 $\mathrm{P}$가 $\mathrm{M}$일 때 $\displaystyle \overline{PA} = \overline{PB} = \overline{PC} = \sqrt{3 ^{2} + 2 ^{2}} = \sqrt{13} , \overline{PD} = 2$이므로 로봇팔의 길이는 $\displaystyle \sqrt{13}$이면 된다. 한편 점 $\mathrm{P}$가 어느 위치에 있든 $\displaystyle \overline{PA} + \overline{PC} \geq \overline{AC} = \sqrt{6 ^{2} + 4 ^{2}} = 2 \sqrt{13}$이므로 $\displaystyle \overline{PA} \geq \sqrt{13}$ 또는 $\displaystyle \overline{PC} \geq \sqrt{13}$이다. 즉, 로봇팔의 길이는 $\displaystyle \sqrt{13}$이상이 되어야 한다. 따라서, 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 $\mathrm{P}$의 위치는 점 $\mathrm{M} ( 1 , 0 )$이다. [별해] $A ( - 2 , 2 ) , B ( 4 , 2 ) , C ( 4 , - 2 ) , D ( 1 , - 2 )$라 하면 두 점 사이의 거리가 최대인 것은 $\displaystyle \overline{AC}$이므로 로봇팔의 고정점 $A , C$까지의 거리가 최소인 곳에 설치해야 한다. $A , C$까지의 거리가 최댓값이 최소인 점은 $\displaystyle \overline{AC}$의 중점이므로 로봇팔의 고정점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{- 2 + 4}{2} , \frac{2 - 2}{2} \right) = \left( 1 , 0 \right)$이다.