미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

리만합의 극한식으로 f(1) 구하기

문제

모든 실수 aa에 대하여 lim⁡n→∞∑k=1nf(kn⋅a)1n=2a−1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} f \left( \frac{k}{n} \cdot a \right) \frac{1}{n} = 2 a - 1을 만족하는 f(x)f ( x )에 대하여 f(1)f ( 1 )의 값은?

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해설

lim⁡n→∞∑k=1nf(kn⋅a)1n=2a−1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} f \left( \frac{k}{n} \cdot a \right) \frac{1}{n} = 2 a - 1준 식을 적분구간이 [0,a][ 0 , a ]인 정적분으로 나타내기 위해서 kan→x,an→dx\displaystyle \frac{ka}{n} \rightarrow x , \frac{a}{n} \rightarrow dx로 치환하면 된다. 그러므로 1a∫0af(x)dx=2a−1\displaystyle \frac{1}{a} \int _{0} ^{a} {f ( x ) dx} = 2 a - 1, ∫0af(x)dx=2a2−a⋯\displaystyle \int _{0} ^{a} {f ( x ) dx} = 2 a ^{2} - a \cdots(1) 식 (1)의 양변을 aa에 관하여 미분하면 f(a)=4a−1f ( a ) = 4 a - 1, ∴f(1)=3\therefore f ( 1 ) = 3

태그

#리만합#정적분의 정의#미적분의 기본정리

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