대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표에 적힌 3의 거듭제곱의 합

문제

그림과 같이 (6×6)( 6 \times 6 )개의 칸에 11, 33, 323 ^{2}, 333 ^{3}, 343 ^{4}, 353 ^{5}을 적어 넣었다. 모든 칸에 적힌 수들의 합을 SS라 할 때, log⁡3S−15\displaystyle \log _{3} \frac{S - 1}{5}의 값을 구하시오. [4점]

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6

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 이용하여 문제 해결하기 S=1+3⋅3+5⋅32+⋯+11⋅35S = 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3 ^{2} + \cdots + 11 \cdot 3 ^{5} ……㉠ 3S=3+3⋅32+5⋅33+⋯+9⋅35+11⋅363 S = 3 + 3 \cdot 3 ^{2} + 5 \cdot 3 ^{3} + \cdots + 9 \cdot 3 ^{5} + 11 \cdot 3 ^{6} ……㉡ ㉠−-㉡하면 −2S=1+2⋅3+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅35−11⋅36- 2 S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{3} + \cdots + 2 \cdot 3 ^{5} - 11 \cdot 3 ^{6} =1+2⋅{3(35−1)3−1}−11⋅36\displaystyle = 1 + 2 \cdot \left\{ \frac{3 ( 3 ^{5} - 1 )}{3 - 1} \right\} - 11 \cdot 3 ^{6} S=1+5⋅36S = 1 + 5 \cdot 3 ^{6} 따라서 log⁡3S−15=6\displaystyle \log _{3} {\frac{S - 1}{5}} = 6

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