공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

폐수 정화시설 위치

문제

네 개의 공장 A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D는 A\mathrm{A}공장을 기준으로 B\mathrm{B}공장은 정동방향으로 100m\mathrm{100} m 이동한 다음 정북방향으로 20m\mathrm{20} m 이동한 지점에, C\mathrm{C}공장은 정동방향으로 120m\mathrm{120} m 이동한 다음 정북방향으로 60m\mathrm{60} m 이동한 지점에, D\mathrm{D}공장은 정동방향으로 40m\mathrm{40} m이동한 다음 정북방향으로 80m\mathrm{80} m 이동한 지점에 있다. 네 개의 공장에서 흘러나오는 폐수를 정화하기 위해 배관시설에 드는 비용을 최소로 하여 정화시설을 만들려고 할 때, 정화시설은A\mathrm{A}공장으로부터 정동방향으로 ama \mathrm{m}, 정북방향으로 bmb \mathrm{m}인 지점이다. 이 때, a+2ba + 2 b의 값을 구하시오. (단, 각 공장에서 정화시설까지 하수도배관이 묻히는 고도는 무시하여 연결되며 비용은 배관의 길이에 비례한다.) [4점]

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160

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해설

[출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 최소값 구하기 점 A\mathrm{A}를 원점으로 하여 공장 B,C,D\mathrm{B} , C , D의 위치를 좌표평면 위에 나타내면

좌표평면 위의 임의의 점 P\mathrm{P}에 대하여 AP‾+CP‾≥AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + \overline{CP} \geq \overline{AC}이고 BP‾+DP‾≥BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} + \overline{DP} \geq \overline{BD}이므로 AP‾+BP‾+CP‾+DP‾≥AC‾+BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + \overline{BP} + \overline{CP} + \overline{DP} \geq \overline{AC} + \overline{BD} 점 P\mathrm{P}가 AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}와 BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}의 교점일 때 각 공장에서 정화시설까지의 거리가 최소이다. ⊗AC\mathrm{\otimes} AC의 방정식은 y=12x\displaystyle y = \frac{1}{2} x, ⊗BD\mathrm{\otimes} BD의 방정식은 y=−x+120y = - x + 120이고, 교점의 좌표는 (80,40)( 80 , 40 ) 따라서, a=80,b=40a = 80 , b = 40이이므로 a+2b=160a + 2 b = 160

태그

#최단거리#직선의 교점#활용

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