평면의 방정식

[출제의도] 좌표공간에서 조건을 만족시키는 평면의 방정식을 구할 수 있는가? 조건을 만족시키는 평면의 법선벡터를 ${\vec{n}} = ( a , b , c )$라 하자. 주어진 직선의 방향벡터를 ${\vec{u}} = ( 1 , - 1 , 2 )$라 하면 ${\vec{n}} \perp {\vec{u}}$에서 ${\vec{n}} \bullet {\vec{u}} = 0$ 이므로 $( a , b , c ) \bullet ( 1 , - 1 , 2 ) = 0$ $a - b + 2 c = 0$ $\cdots \text{㉠}$ 또, 두 점 $( 2 , 0 , 5 ) , ( 1 , 2 , - 1 )$이 평면 위에 있으므로 ${\vec{n}} \perp ( 1 , - 2 , 6 )$에서 ${\vec{n}} \bullet ( 1 , - 2 , 6 ) = 0$ $a - 2 b + 6 c = 0$ $\cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $b = 4 c , a = 2 c$ 즉, $a : b : c = 2 c : 4 c : c = 2 : 4 : 1$ 이므로 조건을 만족시키는 평면의 법선벡터를 $( 2 , 4 , 1 )$로 놓을 수 있다. 이때 평면의 방정식은 $2 ( x - 2 ) + 4 y + ( z - 5 ) = 0$ 에서 $2 x + 4 y + z - 9 = 0$ 이 식에 $y = 0 , z = 0$을 대입하면 $\displaystyle x = \frac{9}{2}$ 이므로 조건을 만족시키는 평면이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{9}{2}$이다.