평면 위 원의 정사영

[출제의도] 점과 평면 사이의 거리를 활용할 수 있고 정사영의 넓이를 구할 수 있는가? 점 ${\mathrm{A}} \left( 2 , 2 , 1 \right)$과 평면 $\alpha$ : $x + 2 y + 2 z - 14 = 0$ 사이의 거리를 $d$라 하면 $\displaystyle d = \frac{\left| 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 14 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2}}} = 2$ 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} \leq 3$인 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형은 그림에서 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{3 ^{2} - 2 ^{2}} = \sqrt{5}$ 인 원의 경계 및 내부이다.

한편, $xy$평면의 법선벡터는 $\left( 0 , 0 , 1 \right)$이고 평면 $\alpha$의 법선벡터는 $\left( 1 , 2 , 2 \right)$이므로 $xy$평면과 평면 $\alpha$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{\left| 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \right|}{\sqrt{0 ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2}} \sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{2}{3}$ 따라서 구하는 정사영의 넓이는 $\displaystyle \left( \sqrt{5} \right) ^{2} \pi \times \cos \theta$$\displaystyle = 5 \pi \times \frac{2}{3}$ $\displaystyle = \frac{10}{3} \pi$