평면 위 정사면체의 모서리

점 $\mathrm{D}$의 좌표를 $( a , b , c )$라 할 때, $\mathrm{\vec{DG}}$가 평면 $2 x - y + z = 4$의 법선벡터가 되므로 $( a - 1 , b - 1 , c - 3 ) = k ( 2 , - 1 , 1 )$ $\therefore a = 2 k + 1 , b = - k + 1 , c = k + 3$ 이때, 점 $\mathrm{D} ( \mathit{a} , b , c )$는 평면 $x + y + z = 3$ 위의 점이므로 $( 2 k + 1 ) + ( - k + 1 ) + ( k + 3 ) = 3$ $2 k + 5 = 3$ $\therefore k = - 1$ 즉, $a = - 1 , b = 2 , c = 2$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DG}} = \sqrt{( - 1 - 1 ) ^{2} + ( 2 - 1 ) ^{2} + ( 2 - 3 ) ^{2}} = \sqrt{6}$ 한 변의 길이가 $x$인 정사면체의 높이가 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3} x$이므로 구하는 정사면체의 한 변의 길이는 $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}} \times \sqrt{6} = 3$ [다른 풀이] 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심 $( 1 , 1 , 3 )$을 $\mathrm{G}$라 하자. $\mathrm{D}$에서 평면 $\mathrm{ABC}$에 내린 수선의 발은 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심 $\mathrm{G} ( 1 , 1 , 3 )$이므로 $\mathrm{\vec{DG}} \perp ( \text{평면} ABC )$이므로 $\mathrm{\vec{DG}} / / ( 2 , - 1 , 1 )$ $\therefore \mathrm{D} ( \mathit{1} + 2 t , 1 - t , 3 + t )$ $\mathrm{D}$가 평면 $x + y + z = 3$ 위에 있으므로 $1 + 2 t + 1 - t + 3 + t = 3$ $\therefore t = - 1$ $\therefore \mathrm{D} ( - 1 , 2 , 2 )$ $\mathrm{D}$에서 평면 $\mathrm{ABC}$까지의 거리는 $\displaystyle \mathrm{\overline{DG}} = \frac{\left| - 2 - 2 + 2 - 4 \right|}{\sqrt{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ 정사면체의 한 모서리의 길이를 $x$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{DG}} = \frac{\sqrt{6}}{3} x = \sqrt{6}$ $\therefore x = 3$