기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

평면 위 점과 벡터 합 크기 최솟값

문제

좌표공간에 두 점 A(3,1,1),B(1,−3,−1)\mathrm{A} ( 3 , 1 , 1 ) , B ( 1 , - 3 , - 1 )이 있다. 평면 x−y+z=0x - y + z = 0 위에 있는 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∣PA⃗+PB⃗∣\mathrm{\left| \vec{PA} + \vec{PB} \right|}의 최솟값은? [4점] ①433\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{3}②533\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{3}③23\displaystyle 2 \sqrt{3}④733\displaystyle \frac{7 \sqrt{3}}{3}⑤833\displaystyle \frac{8 \sqrt{3}}{3}

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③

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해설

선분 ABAB의 중점을 MM, MM에서 평면에 내린 수선의 발을 M′M'으로 놓으면 ∣PA⃗+PB⃗∣=2∣PM⃗∣≥2∣MM′⃗∣| \vec{PA} + \vec{PB} | = 2 | \vec{PM} | \geq 2 | \vec{MM'} | 그런데 MM의 좌표는 (2,−1,0)( 2 , - 1 , 0 )이므로 점 MM과 평면 사이의 거리는 선분 MM′M M'의 길이므로 ∣2+1+0∣3=3\displaystyle \frac{| 2 + 1 + 0 |}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} 따라서 구하는 최솟값은 2∣MM′⃗∣=23\displaystyle 2 | \vec{MM'} | = 2 \sqrt{3}이다.

태그

#벡터의 크기#점과 평면 사이 거리

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