평면 운동의 가속도

[출제의도] 좌표평면 위의 운동에서의 가속도의 크기를 구할 수 있는가? $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 4 \sin 4 t , \frac{dy}{dt} = \cos 4 t$이므로 $\displaystyle \left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^{2} = 16 \sin ^{2} 4 t + \cos ^{2} 4 t = 15 \sin ^{2} 4 t + 1$ 따라서 점 $P$의 속력은 $\displaystyle \sqrt{15 \sin ^{2} 4 t + 1}$이므로 속력이 최대가 되기 위해서는 $\sin ^{2} 4 t = 1$ 즉, $\cos ^{2} 4 t = 0$ 또한, $\displaystyle \frac{d ^{2} x}{dt ^{2}} = 16 \cos 4 t , \frac{d ^{2} y}{dt ^{2}} = - 4 \sin 4 t$이므로 $\displaystyle \left( \frac{d ^{2} x}{dt ^{2}} \right) ^{2} + \left( \frac{d ^{2} y}{dt ^{2}} \right) ^{2} = 256 \cos ^{2} 4 t + 16 \sin ^{2} 4 t$ 따라서 점$P$의 가속도의 크기는 $\displaystyle \sqrt{256 \times 0 + 16 \times 1} = 4$