미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

평면 운동 속도

문제

좌표평면 위를 움직이는 점 $P$ 의 시각 $t ( t > 0 )$ 에서의 위치 $\left( x , y \right)$ 가 $x = 3 \cos t , y = 4 \sin t$ 일 때, 점 $P$ 의 속도 ${\vec{v}}$ 와 가속도 ${\vec{a}}$ 에 대하여 $\left| {\vec{v}} \right| ^{2} + \left| {\vec{a}} \right| ^{2}$ 의 값은? [3점] ①9②16③25④36⑤49

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③

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해설

[출제의도] 이해능력-평면벡터 $\displaystyle {\vec{v}} = \left( \frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right) = ( - 3 \sin t , 4 \cos t )$ $\displaystyle {\vec{a}} = \left( \frac{d ^{2} x}{dt ^{2}} , \frac{d ^{2} y}{dt ^{2}} \right) = ( - 3 \cos t , - 4 \sin t )$ 따라서 $\left| {\vec{v}} \right| ^{2} + \left| {\vec{a}} \right| ^{2}$ $= 9 \sin ^{2} t + 16 \cos ^{2} t + 9 \cos ^{2} t + 16 \sin ^{2} t$ $= 25 ( \sin ^{2} t + \cos ^{2} t ) = 25 \times 1 = 25$

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