평면 운동 거리

[출제의도] 점의 운동 문제해결하기 점 $P$의 시각 $t$에서의 위치 $( x , y )$가 $\displaystyle {\begin{cases} x = 4 \sqrt{2} t + 2 & \\ y = \frac{4}{3} \sqrt{t} ( t - 6 ) & \end{cases}}$ $\displaystyle {\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 4 \sqrt{2} & \\ \frac{dy}{dt} = 2 \left( \sqrt{t} - \frac{2}{\sqrt{t}} \right) & \end{cases}}$ 점 $P$의 속력은 $\displaystyle \left| {\vec{v}} \right| = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^{2}} = 2 \sqrt{t} + \frac{4}{\sqrt{t}}$ 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle \left| {\vec{v}} \right| = 2 \sqrt{t} + \frac{4}{\sqrt{t}} \geq 2 \sqrt{2 \sqrt{t} \times \frac{4}{\sqrt{t}}} = 4 \sqrt{2}$ (단, 등호는 $t = 2$일 때 성립) $\displaystyle \left| {\vec{v}} \right| = 2 \sqrt{t} + \frac{4}{\sqrt{t}}$는 $t = 2$일 때 최소이므로 $a = 2$이다. $t = 1$에서 $t = 2$까지 점 $P$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{1} ^{2} {\left| {\vec{v}} \right| dt} = \int _{1} ^{2} {\left( 2 \sqrt{t} + \frac{4}{\sqrt{t}} \right) dt} = \frac{32}{3} \sqrt{2} - \frac{28}{3}$ $\therefore p + q = 20$