공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

평행선 사다리꼴 넓이 최대

문제

그림과 같이 세 점 A(0,4)\mathrm{A} ( 0 , 4 ), B(−3,0)\mathrm{B} ( - 3 , 0 ), C(4,−3)\mathrm{C} ( 4 , - 3 )을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 선분 AC\mathrm{AC} 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}를 지나고 직선 AB\mathrm{AB}에 평행한 직선이 선분 BC\mathrm{BC}와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}, 점 P\mathrm{P}를 지나고 직선 BC\mathrm{BC}에 평행한 직선이 선분 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 R\mathrm{R}, 점 Q\mathrm{Q}를 지나고 직선 AC\mathrm{AC}에 평행한 직선이 선분 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 S\mathrm{S}라 하자. 사다리꼴 PRSQ\mathrm{PRSQ}의 넓이의 최댓값이 qp\displaystyle \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, AP‾<PC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} < {\overline{\mathrm{PC}}}이고, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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43

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해설

AB‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 5 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이를 aa라 하면, 사각형 PRSQ\mathrm{PRSQ}는 사다리꼴이므로 52<a<5\displaystyle \frac{5}{2} < a < 5 점 C\mathrm{C}와 직선 AB\mathrm{AB}사이의 거리는 375\displaystyle \frac{37}{5} ⋯㉠\cdots \text{㉠} 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 삼각형 PQC\mathrm{PQC}는 닮음비가 5:a5 : a인 닮은 도형이므로 점 C\mathrm{C}와 직선 PQ\mathrm{PQ}사이의 거리는 3725a\displaystyle \frac{37}{25} a ⋯㉡\cdots \text{㉡} ㉠\text{㉠}, ㉡\text{㉡}에 의해 사다리꼴 PRSQ\mathrm{PRSQ}의 높이는 375−3725a\displaystyle \frac{37}{5} - \frac{37}{25} a 두 사각형 BQPR\mathrm{BQPR}와 SQPA\mathrm{SQPA}는 각각 평행사변형이므로 BS‾+SR‾=a=AR‾+SR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BS}}} + {\overline{\mathrm{SR}}} = a = {\overline{\mathrm{AR}}} + {\overline{\mathrm{SR}}} 즉, BS‾=AR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BS}}} = {\overline{\mathrm{AR}}} BS‾+SR‾+AR‾=BS‾+a=5\displaystyle {\overline{\mathrm{BS}}} + {\overline{\mathrm{SR}}} + {\overline{\mathrm{AR}}} = {\overline{\mathrm{BS}}} + a = 5 즉, BS‾=5−a\displaystyle \overline{\mathrm{BS}} = 5 - a SR‾=5−2BS‾=5−2(5−a)=2a−5\displaystyle {\overline{\mathrm{SR}}} = 5 - 2 {\overline{\mathrm{BS}}} = 5 - 2 \left( 5 - a \right) = 2 a - 5 사다리꼴 PRSQ\mathrm{PRSQ}의 넓이를 S(a)S ( a )라 하면, S(a)=12{(2a−5)+a}(375−3725a)\displaystyle \left. S ( a ) = \frac{1}{2} \left\{ ( 2 a - 5 ) + a \right\} \left( \frac{37}{5} - \frac{37}{25} a \right) \right. =−11150(a−103)2+376(52<a<5)\displaystyle = - \frac{111}{50} \left( a - \frac{10}{3} \right) ^{2} + \frac{37}{6} \left( \frac{5}{2} < a < 5 \right) 이므로 a=103\displaystyle a = \frac{10}{3}일 때, S(a)S ( a )의 최댓값은 376\displaystyle \frac{37}{6} 따라서 p+q=43p + q = 43

y=S(a)y = S ( a ) 103\displaystyle \frac{10}{3} 52\displaystyle \frac{5}{2} 376\displaystyle \frac{37}{6}

태그

#좌표#최대최소

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