중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

평행사변형과 이등분선

문제

그림과 같이 평행사변형 ABCD{\mathrm{ABCD}}에서 각 B\mathrm{B}의 이등분선이 선분 AD{\mathrm{AD}}와 만나는 점을 E{\mathrm{E}}라 하자. 선분 ED{\mathrm{ED}} 위의 한 점 F{\mathrm{F}}에 대하여 ∠FDC=2×∠DCF\angle {\mathrm{FDC =}} \mathit{2} \times \angle {\mathrm{DCF}}이다. 직선 BE{\mathrm{BE}}와 직선 CF{\mathrm{CF}}의 교점을 G{\mathrm{G}}라 할 때, EG‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{EG}}} = 3, FG‾=FD‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{FG}}} = {\overline{\mathrm{FD}}} = 2이다. 선분 EF{\mathrm{EF}}의 길이는? [4점]

①33②10\displaystyle \sqrt{10}③11\displaystyle \sqrt{11}④23\displaystyle 2 \sqrt{3}⑤13\displaystyle \sqrt{13}

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

AD‾∥BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} \parallel {\overline{\mathrm{BC}}}이므로 ∠FEG=∠CBE\angle {\mathrm{FEG}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CBE}} (동위각) 사각형 ABCD{\mathrm{ABCD}}가 평행사변형이고 ∠EBA=∠CBE\angle {\mathrm{EBA}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CBE}}이므로 ∠FDC\angle {\mathrm{FDC}}=∠CBA= \angle {\mathrm{CBA}}=2×∠CBE= 2 \times \angle {\mathrm{CBE}} ∠FDC=2×∠DCF\angle {\mathrm{FDC}} = \mathit{2} \times \angle {\mathrm{DCF}}이므로 ∠CBE=∠DCF\angle {\mathrm{CBE}} = \mathit{\angle} {\mathrm{DCF}} ∠FEG=∠DCF\angle {\mathrm{FEG}} = \mathit{\angle} {\mathrm{DCF}} ∠GFE=∠DFC\angle {\mathrm{GFE}} = \mathit{\angle} {\mathrm{DFC}} (맞꼭지각) 그러므로 두 삼각형 GEF{\mathrm{G {\mathrm{EF}}}}, DCF{\mathrm{DCF}}에서 ∠FEG=∠FCD\angle {\mathrm{FEG}} = \mathit{\angle} {\mathrm{FCD}}, ∠GFE=∠DFC\angle {\mathrm{GFE}} = \mathit{\angle} {\mathrm{DFC}} 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180∘180 ^\circ이므로 ∠EGF=∠CDF\angle {\mathrm{EGF}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CDF}} ∠GFE=∠DFC\angle {\mathrm{GFE}} = \mathit{\angle} {\mathrm{DFC}}, ∠EGF=∠CDF\angle {\mathrm{EGF}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CDF}}, FG‾=FD‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{FG}}} = {\overline{\mathrm{FD}}} = 2이므로 삼각형 GEF{\mathrm{G {\mathrm{EF}}}}와 삼각형 DCF{\mathrm{DCF}}는 서로 합동이다. 따라서 EG‾=CD‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{EG}}} = {\overline{\mathrm{CD}}} = 3이고 사각형 ABCD{\mathrm{ABCD}}는 평행사변형이므로 AB‾=CD‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{CD}}} = 3 AD‾∥BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} \parallel {\overline{\mathrm{BC}}}이므로 ∠AEB=∠CBE\angle {\mathrm{AEB}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CBE}} (엇각) ∠EBA=∠CBE\angle {\mathrm{EBA}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CBE}}이므로 ∠EBA=∠AEB\angle {\mathrm{EBA}} = \mathit{\angle} {\mathrm{AEB}} 삼각형 ABE{\mathrm{ABE}}는 AE‾=AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = {\overline{\mathrm{AB}}}인 이등변삼각형이므로 AE‾=AB‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} = 3 선분 EF{\mathrm{EF}}의 길이를 xx라 하면 BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}=AD‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{AD}}} =AE‾+EF‾+FD‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{AE}}} + {\overline{\mathrm{EF}}} + {\overline{\mathrm{FD}}}=x+5= x + 5 또한 EF‾=FC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} = {\overline{\mathrm{FC}}}이므로 GC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{GC}}}=GF‾+FC‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{GF}}} + {\overline{\mathrm{FC}}}=x+2= x + 2 삼각형 GBC{\mathrm{GBC}}에서 EF‾∥BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} \parallel {\overline{\mathrm{BC}}}이므로 EF‾:BC‾=GF‾:GC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} : {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{GF}}} : {\overline{\mathrm{GC}}} x:(x+5)=2:(x+2)x : \left( x + 5 \right) = 2 : \left( x + 2 \right) 2(x+5)=x(x+2)2 \left( x + 5 \right) = x \left( x + 2 \right) x2=10x ^{2} = 10 x=10(x>0)\displaystyle x = \sqrt{10} \left( x > 0 \right) 따라서 선분 EF{\mathrm{EF}}의 길이는 10\displaystyle \sqrt{10}

태그

#평행사변형#이등변삼각형#닮음

비슷한 문제 더 보기

중학 문제 모음중학 중학 미분류 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로