기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

평행사변형 수선의 발 벡터

문제

그림과 같은 AD‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 1, AB‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{6}, ∠ADB=90∘\mathrm{\angle} ADB = 90 ^\circ인 평행사변형 ABCD\mathrm{ABCD}에서 AD⃗=a⃗\mathrm{\vec{AD}} = \vec{\mathit{a}}, AB⃗=b⃗\mathrm{\vec{AB}} = \vec{\mathit{b}}라 놓는다. 꼭짓점 D\mathrm{D}에서 선분 AC\mathrm{AC}에 내린 수선의 발을 E\mathrm{E}라 할 때, 벡터 AE⃗=k(a⃗+b⃗)\mathrm{\vec{AE}} = \mathit{k} ( \vec{a} + \vec{b} )를 만족시키는 실수 kk의 값은? [4점]

①16\displaystyle \frac{1}{6}②29\displaystyle \frac{2}{9}③518\displaystyle \frac{5}{18}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤66\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}

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②

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해설

AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}의 중점을 M\mathrm{M}이라 두면 AM‾=AD‾2+DM‾2=32\displaystyle \overline{AM} = \sqrt{\overline{AD} ^{2} + \overline{DM} ^{2}} = \frac{3}{2} ∴AC‾=2AM‾=3\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{AC}} = 2 \overline{AM} = 3 △AMD\triangle \mathrm{AMD}에서 AM‾⋅DE‾=AD‾⋅DM‾\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} \cdot \overline{DE} = \overline{AD} \cdot \overline{DM} AM‾=32,AD‾=1,DM‾=52\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} = \frac{3}{2} , \overline{AD} = 1 , \overline{DM} = \frac{\sqrt{5}}{2}이므로 DE‾=53\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = \frac{\sqrt{5}}{3} 여기서 △ADE\triangle \mathrm{ADE}는 직각삼각형이므로 AE‾=23\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \frac{2}{3} ∴∣AE⃗∣=k⋅∣a⃗+b⃗∣=k⋅∣AC⃗∣=3k=23\displaystyle {\therefore {\left| \mathrm{\vec{AE}} \right|} = k \cdot \left| \vec{a} + \vec{b} \right| = k \cdot \left| {\mathrm{\vec{AC}} |} = 3 k = \frac{2}{3} \right.} ∴k=29\displaystyle \therefore k = \frac{2}{9}

태그

#평행사변형#벡터#정사영

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