공통수학2평면좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

평행사변형 꼭짓점 외분

문제

다음은 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$ 의 세 꼭지점을 $\mathrm{A} \mathit{(} x _{1} , y _{1} )$ , $\mathrm{B} \mathit{(} x _{2} , y _{2} )$ , $\mathrm{C} \mathit{(} x _{3} , y _{3} )$ 라 할 때, 나머지 한 꼭지점 $\mathrm{D}$ 의 좌표를 외분을 이용하여 구하는 과정이다. $\mathrm{A} \mathit{(} x _{1} , y _{1} )$ $\mathrm{B} \mathit{(} x _{2} , y _{2} )$ $\mathrm{C} \mathit{(} x _{3} , y _{3} )$ $\mathrm{D} \mathit{(} x _{4} , y _{4} )$ ${\mathrm{M}} ( x , y )$

점 $\mathrm{D}$ 의 좌표를 $\mathit{(} x _{4} , y _{4} )$ , 선분 $\mathrm{AC}$ 의 중점을 $\mathrm{M} \mathit{(} x , y )$ 라 하면 $\displaystyle x = \frac{x _{1} + x _{3}}{2}$ , $\displaystyle y = \frac{y _{1} + y _{3}}{2}$ 이다. 평행사변형의 대각선의 성질에 의하여, 점 $\mathrm{D}$ 는 선분 $\mathrm{BM}$ 을 (가)

로 외분하는 점이므로 $x _{4} = {\square {( \text{나} )}}$ , $y _{4} = {\square {( \text{다} )}}$ $\therefore D \left( {\square {( \text{나} )}} , {\square {( \text{다} )}} \right)$

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	$2 : 1$	$x _{1} - x _{2} + x _{3}$	$y _{1} - y _{2} + y _{3}$
②	$2 : 1$	$2 x _{1} + x _{2} - x _{3}$	$2 y _{1} + y _{2} - y _{3}$
③	$2 : 1$	$x _{1} + 2 x _{2} + x _{3}$	$y _{1} - 2 y _{2} + y _{3}$
④	$1 : 2$	$x _{1} - x _{2} + x _{3}$	$y _{1} - y _{2} + y _{3}$
⑤	$1 : 2$	$2 x _{1} + x _{2} - x _{3}$	$2 y _{1} + y _{2} - y _{3}$

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①

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해설

[출제의도] 외분을 이해하고 이를 활용하기 $M$ 은 선분 $BD$ 의 중점이므로 선분 $BM$ 을 $2 : 1$ 로 외분하는 점은 $D ( x _{4} , y _{4} )$ 이다. 그러므로 (가)는 $2 : 1$ 이다. 점 $D$ 는 선분 $BM$ 을 $2 : 1$ 로 외분하는 점이고, $\displaystyle x = \frac{x _{1} + x _{3}}{2}$ , $\displaystyle y = \frac{y _{1} + y _{3}}{2}$ 이므로 $\displaystyle x _{4} = \frac{2 \cdot x - 1 \cdot x _{2}}{2 - 1} = x _{1} - x _{2} + x _{3}$ … (나) $\displaystyle y _{4} = \frac{2 \cdot y - 1 \cdot y _{2}}{2 - 1} = y _{1} - y _{2} + y _{3}$ … (다)

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