평행사변형 닮음 보기

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 성립하는 내용을 추론한다.

ㄱ. 두 삼각형 $\mathrm{E} BF$와 $\mathrm{E} AD$에서 두 선분 $\mathrm{B} F$와 $\mathrm{A} D$가 평행하므로 $\angle {\mathrm{E} BF} = \angle {\mathrm{E} AD}$, $\angle {\mathrm{E} FB} = \angle {\mathrm{E} DA}$ 따라서 $\triangle {\mathrm{E} BF} \backsim \triangle {\mathrm{E} AD}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} : {\overline{\mathrm{AD}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{EB}}} : {\overline{\mathrm{EA}}}$$= 1 : 3$ (참) ㄴ. ㄱ에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} F} : \overline{\mathrm{A} D} = 1 : 3$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{AD}}}$$\displaystyle = \frac{2}{3}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{F} C} = \overline{\mathrm{B} C} - \overline{\mathrm{B} F} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ 삼각형 $\mathrm{C} FD$에서 선분 $\mathrm{C} G$는 각 $\mathrm{F} CD$의 이등분선이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FG}}} : {\overline{\mathrm{GD}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{CF}}} : {\overline{\mathrm{CD}}}$$\displaystyle = \frac{4}{3} : 2$$= 2 : 3$ (거짓) ㄷ. $\triangle {\mathrm{G} FC} = a$라 하자. 두 선분 $\mathrm{FC}$와 $\mathrm{A} D$가 평행하므로 $\angle \mathrm{FCG} \mathit{=} \angle \mathrm{DAG}$, $\angle \mathrm{CFG} \mathit{=} \angle \mathrm{ADG}$ 따라서 $\triangle \mathrm{GFC} \mathit{\backsim} \triangle \mathrm{GDA}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{F} C} : \overline{\mathrm{A} D} = 2 : 3$이므로 $\triangle {\mathrm{G} FC} : \triangle {\mathrm{G} DA} = 4 : 9$ $\displaystyle \triangle {\mathrm{G} DA} = \frac{9}{4} a$ $\cdots$㉠ 두 삼각형 $\mathrm{C} FG$와 $\mathrm{C} DG$의 높이는 서로 같고 ㄴ에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{F} G} : \overline{\mathrm{G} D} = 2 : 3$이므로 $\triangle {\mathrm{C} FG} : \triangle {\mathrm{C} GD} = 2 : 3$ $\displaystyle \triangle {\mathrm{C} GD} = \frac{3}{2} a$ $\cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $\triangle {\mathrm{A} CD}$$= \triangle {\mathrm{G} DA} + \triangle {\mathrm{C} GD}$$\displaystyle = \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} a = \frac{15}{4} a$ 따라서 $\triangle {\mathrm{G} FC} : \triangle {\mathrm{A} CD}$$\displaystyle = a : \frac{15}{4} a$$= 4 : 15$ (참)