평행이동한 정규분포

[출제의도] 정규분포의 성질을 이용하여 확률변수의 평균과 표준편차를 구하는 문제를 해결한다. 곡선 $y$$= g ( x )$는 곡선 $y$$= f ( x )$를 $x$축의 방향으로 $- 6$만큼 평행이동한 것이므로 두 확률변수 $X$, $Y$의 표준편차는 같다. 확률변수 $X$의 평균을 $m$, 표준편차를$\sigma$라 하면 확률변수 $Y$의 평균은 $m - 6$, 표준편차는$\sigma$이다. 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 조건 (가)에서 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} \leq \mathit{11} \right) = \mathrm{P} \left( \mathit{Y} \geq \mathit{23} \right)$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \leq \frac{11 - m}{\sigma} \right)$$\displaystyle = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{29 - m}{\sigma} \right)$ $\displaystyle \frac{11 - m}{\sigma}$$\displaystyle = - \frac{29 - m}{\sigma}$에서 $m$$= 20$ 조건 (나)에서 ${\mathrm{P}} \left( \mathit{X} \leq k \right) + {\mathrm{P}} \left( \mathit{Y} \leq k \right)$$= 1$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \leq \frac{k - 20}{\sigma} \right) + \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \leq \frac{k - 14}{\sigma} \right)$$= 1$ $\displaystyle \frac{k - 20}{\sigma}$$\displaystyle = - \frac{k - 14}{\sigma}$에서 $k$$= 17$ $\mathrm{P} \left( \mathit{X} \leq 17 \right) + \mathrm{P} \left( \mathit{Y} \geq 17 \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} P \left( \mathit{Z} \leq - \frac{3}{\sigma} \right) + \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{3}{\sigma} \right)$ $\displaystyle = 2 \times \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{3}{\sigma} \right)$ $\mathrm{P} \left( \mathit{X} \leq 17 \right) + \mathrm{P} \left( \mathit{Y} \geq 17 \right)$$= 0.1366$에서 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{3}{\sigma} \right)$$= 0.0668$ 표준정규분포표에서 $\mathrm{P} ( \mathit{0} \leq Z \leq 1.5 )$$= 0.4332$, 즉 $\mathrm{P} ( \mathit{Z} \geq 1.5 )$$= 0.0668$ $\displaystyle \frac{3}{\sigma}$$= 1.5$에서 $\sigma$$= 2$ 따라서 $\mathrm{E} ( \mathit{X} ) + \sigma ( Y )$$= m + \sigma$$= 20 + 2$$= 22$