평행이동과 대칭이동으로 겹쳐지는 그래프

ㄱ. $\displaystyle y = \sqrt{4 x - x ^{2}} - 1$을 변형하면 $( y + 1 ) ^{2} = 4 x - x ^{2}$ $( x - 2 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = 4$ $\displaystyle y = - \sqrt{1 - x ^{2}} + 4$을 변형하면 $( y - 4 ) ^{2} = 1 - x ^{2}$ $x ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} = 1$ 즉, 두 함수는 각각 반지름이 $2$와 $1$인 원의 부분을 나타낸다. 따라서 평행이동과 대칭이동으로 겹쳐지지 않는다. (거짓) ㄴ. 함수 $y = 2 ^{x - 3} - 1$는 기본형이 $y = 2 ^{x}$형태인 지수함수이다. 반면에 함수 $\displaystyle y = 3 + 2 \log _{\frac{1}{4}} ( x - 1 )$을 변형하면 $\displaystyle x - 1 = \left( \frac{1}{4} \right) ^{y-3} = 2 ^{3-y}$ 로서 기본형 $x = 2 ^{-y}$을 평행이동한 함수이다. $y = 2 ^{x}$을 $y = x$에 대하여 대칭이동하고 $x$축에 대하여 대칭이동하면 $x = 2 ^{-y}$이 되므로 대칭과 평행이동으로 두 함수는 겹쳐질 수 있다. (참) ㄷ. $\displaystyle y = \frac{1}{\pi} \sin ( \pi x - 1 ) + 3 = \frac{1}{\pi} \sin \pi \left( x - \frac{1}{\pi} \right) + 3$이므로 기본형 $\displaystyle y = \frac{1}{\pi} \sin \pi x$를 $x$축으로 $\displaystyle \frac{1}{\pi}$만큼, $y$축으로 $3$만큼 평행이동한 함수이다. 또한, 함수 $\displaystyle y = - \frac{1}{\pi} \cos ( \pi x + 3 ) - 1 = - \frac{1}{\pi} \cos \pi \left( x - \frac{3}{\pi} \right) - 1$ 이므로 기본형 $\displaystyle y = - \frac{1}{\pi} \cos \pi x$를 $x$축으로 $\displaystyle \frac{3}{\pi}$만큼, $y$축으로 $- 1$만큼 평행이동시킨 함수이다. $\displaystyle y = \frac{1}{\pi} \sin \pi x = \frac{1}{\pi} \cos \left( \frac{\pi}{2} - \pi x \right) = \frac{1}{\pi} \cos \pi \left( \frac{1}{2} - x \right)$ 이므로 $\displaystyle y = \frac{1}{\pi} \sin \pi x$를 원점에 대하여 대칭하고 $x$축 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{2}$만큼 평행이동하면 두 기본형은 겹쳐진다. (참)