평행이동 점열의 극한

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 추론하여 수열의 극한값을 구한다. 점 $\mathrm{A} \mathit{_{n}}$의 좌표를 $\left( x _{n} , y _{n} \right)$이라 하면 규칙 (나)에서 $x _{2 n}$$= x _{2 n - 1} + a$, $y _{2 n}$$= y _{2 n - 1}$ 규칙 (다)에서 $x _{2 n + 1}$$= x _{2 n}$, $y _{2 n + 1}$$= y _{2 n} + \left( a + 1 \right)$ $x _{2 n + 2}$$= x _{2 n + 1} + a$$= x _{2 n} + a$, $y _{2 n + 2}$$= y _{2 n + 1}$$= y _{2 n} + \left( a + 1 \right)$ 즉 두 수열 $\left\{ x _{2 n} \right\}$, $\left\{ y _{2 n} \right\}$은 공차가 각각 $a$, $a + 1$인 등차수열이고, 규칙 (가)에서 $x _{2}$$= x _{1} + a$$= a$, $y _{2}$$= y _{1}$$= 0$이므로 $x _{2 n}$$= a + \left( n - 1 \right) a$$= a n$, $y _{2 n}$$= 0 + \left( n - 1 \right) \left( a + 1 \right)$$= \left( a + 1 \right) \left( n - 1 \right)$ 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} A \mathit{_{2 n}}}} ^{2}$$= x _{2 n} \mathit{^{2}} + y _{2 n} \mathit{^{2}}$$= a ^{2} n ^{2} + \left( a + 1 \right) ^{2} \left( n - 1 \right) ^{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{A} _{1} \mathrm{A} \mathit{_{2 n}}}}}{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{a ^{2} n ^{2} + \left( a + 1 \right) ^{2} \left( n - 1 \right) ^{2}}}{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{a ^{2} + \left( a + 1 \right) ^{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) ^{2}}}$ $\displaystyle = \sqrt{2 a ^{2} + 2 a + 1}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{A} _{1} A \mathit{_{2 n}}}}}{n}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{34}}{2}$에서 $\displaystyle \sqrt{2 a ^{2} + 2 a + 1}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{34}}{2}$ 양변을 제곱하여 정리하면 $4 a ^{2} + 4 a - 15$$= 0$, $\left( 2 a + 5 \right) \left( 2 a - 3 \right)$$= 0$, $a$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{5}{2}$ 또는 $a$$\displaystyle = \frac{3}{2}$ 따라서 양수 $a$의 값은 $\displaystyle \frac{3}{2}$이다.