평행이동 점열

점 ${\mathrm{P}} _{n}$, ${\mathrm{Q}} _{n}$의 좌표는 다음과 같다. $\mathrm{P} _{1} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{Q} _{1} ( 1 , 1 )$ $\mathrm{P} _{2} ( 0 , 2 )$, $\mathrm{Q} _{2} ( 2 , 4 )$ $\mathrm{P} _{3} ( 1 , 5 )$, $\mathrm{Q} _{3} ( 4 , 8 )$ $\mathrm{P} _{4} ( 3 , 9 )$, $\mathrm{Q} _{4} ( 7 , 13 )$ $\mathrm{P} _{5} ( 6 , 14 )$, $\mathrm{Q} _{5} ( 11 , 19 )$ $\mathrm{P} _{6} ( 10 , 20 )$, $\mathrm{Q} _{6} ( 16 , 26 )$ $\vdots$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $1$, 계차수열이 $\left\{ n \right\}$인 수열이므로 $\displaystyle a _{21} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{20} k = 1 + \frac{20 \cdot 21}{2} = 211$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 첫째항이 $1$, 계차수열이 $\left\{ n + 2 \right\}$인 수열이므로 $\displaystyle b _{21} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{20} ( k + 2 ) = 1 + \frac{20 \cdot 21}{2} + 2 \cdot 20 = 251$ ∴ $a _{21} + b _{21} = 211 + 251 = 462$ [다른풀이] $\mathrm{P} _{1} ( 0 , 0 )$으로부터 $\mathrm{Q} _{1} ( 1 , 1 )$이므로 $a _{1} = 1 ,$ $b _{1} = 1$ $\mathrm{Q} \mathit{_{n}}$의 좌표 $( a _{n} , b _{n} )$으로부터 $\mathrm{P} \mathit{_{n + 1}}$의 좌표는 $\left( a _{n} - 1 , b _{n} + 1 \right)$ $\mathrm{Q} \mathit{_{n + 1}}$의 좌표는 $\left( a _{n} - 1 + \left( n + 1 \right) , b _{n} + 1 + \left( n + 1 \right) \right)$ $\therefore$ $a _{n + 1} = a _{n} + n ,$ $b _{n + 1} = b _{n} + n + 2$ $a _{n + 1} + b _{n + 1}$$= a _{n} + b _{n} + 2 n + 2$ 수열 $\left\{ a _{n} + b _{n} \right\}$은 첫째항이 $a _{1} + b _{1} = 2$, 계차수열이 $\left\{ 2 n + 2 \right\}$인 수열이므로 $a _{21} + b _{21}$$\displaystyle = 2 + \sum\limits _{k = 1} ^{20} ( 2 k + 2 )$ $\displaystyle = 2 + 2 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} + 2 \cdot 20$$= 462$