평행한 세 직선 이면각

두 직선 $m , n$을 포함하는 평면을 $\alpha$라 하자. $l \parallel m , l \parallel n$이므로 $l \parallel \alpha$이다. 직선 $l$ 위의 두 점 $\mathrm{A} , B$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{E} , F$라 하고, 선분 $\mathrm{FD}$와 직선 $m$의 교점을 $\mathrm{G}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \parallel \overline{EF}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} \parallel \overline{CG}$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = \overline{CG} = 2 \sqrt{2}$ 이므로 직각삼각형 $\mathrm{DGC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{GD}} = \sqrt{3 ^{2} - ( 2 \sqrt{2} ) ^{2}} = 1$ 직각삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \sqrt{( 4 \sqrt{2} ) ^{2} + ( 2 \sqrt{2} ) ^{2}} = 2 \sqrt{10}$ 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\cos} ( \angle ACD ) = \frac{5 ^{2} + 3 ^{2} - ( 2 \sqrt{10} ) ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 3} = - \frac{1}{5}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\sin} ( \angle ACD ) = \sqrt{1 - \left( - \frac{1}{5} \right) ^{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \frac{2 \sqrt{6}}{5} = 3 \sqrt{6}$이다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{EC}}} = a$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{AE}} = \overline{BF}} = b$라 하면 $\displaystyle {\mathrm{\overline{FD}}} = a + 1$이고, 삼각형 $\mathrm{AEC}$에서 $a ^{2} + b ^{2} = 25$ $\cdots \text{㉠}$ 삼각형 $\mathrm{BFD}$에서 $( a + 1 ) ^{2} + b ^{2} = 32$$\cdots \text{㉡}$ ㉡-㉠에서 $2 a + 1 = 7$, $a = 3$ 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영은 삼각형 $\mathrm{ECD}$이고, 삼각형 $\mathrm{ECD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\mathrm{\overline{EC}} \times \overline{CG}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ 따라서, $\displaystyle 3 \sqrt{6} \times \cos \theta = 3 \sqrt{2}$에서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ∴ $\tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta - 1$ $\displaystyle = \frac{1}{\cos ^{2} \theta} - 1$$= 3 - 1$$= 2$ ∴ $15 \tan ^{2} \theta = 30$