평행한 접선과 정삼각형

[출제의도] 원과 직선의 성질을 이용하여 원의 중심의 좌표를 구한다.

평행한 두 직선 $l$, $l'$이 원 $C$의 접선이므로 선분 $\mathrm{PQ}$는 원 $C$의 지름이고 원 $C$의 중심인 점 $\mathrm{C} \mathit{\left( a , b \right)}$는 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점이다. 삼각형 $\mathrm{POQ}$가 정삼각형이므로 직선 $\mathrm{OC}$가 선분 $\mathrm{PQ}$를 수직이등분한다. 그러므로 직선 $\mathrm{OC}$는 직선 $l$과 평행하다. 직선 $\mathrm{OC}$의 방정식은 $x - 2 y = 0$이므로 $a - 2 b = 0$ …… ㉠ 원점 $\mathrm{O}$와 직선 $l : x - 2 y + 5 = 0$ 사이의 거리 $\displaystyle \frac{\left| 5 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}}} = \sqrt{5}$ 가 원 $C$의 반지름의 길이다. 삼각형 $\mathrm{POQ}$가 정삼각형이므로 선분 $\mathrm{OC}$의 길이는 원 $C$의 반지름의 길이의 $\displaystyle \sqrt{3}$배이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} = \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$ $a ^{2} + b ^{2} = 15$ …… ㉡ $a$, $b$는 양수이고, ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle a = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle b = \sqrt{3}$에서 $\displaystyle a + b = 3 \sqrt{3}$